2.4 控制系统的传递函数模型

控制系统的原始数学模型一般是微分或差分方程，系统特性可由求解模型方程并做解分析来获得。但求解微分差分方程一般是困难的，所以，对不经求解微分或差分方程就能完成特性分析的方法进行探究是控制理论研究的基本问题之一，传递函数正是这种研究的结果。

2.4.1 传递函数的定义

在线性（或线性化）的定常连续时间系统中，初始条件为零时，其输出信号的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换函数）与输入信号的拉氏变换函数之比，称为系统的传递函数。例如，对式（2-5）的微分方程，设其为线性定常的且初始条件为零，经拉氏变换，则有

这里，U（s）＝L｛u（t）｝和Y（s）＝L｛y（t）｝。于是

这里的G（s）就是式（2-5）系统的传递函数，分子、分母多项式分别称为零点多项式和极点多项式。

线性定常微分方程与传递函数有明确关系。一般地，只有线性定常微分方程才能定义传递函数（差分方程的脉冲传递函数参见第7章），这是由拉氏变换的适用范围决定的。

2.4.2 传递函数的零极点

由于线性定常系统传递函数G（s）是拉氏变元s的有理复函数，其分子和分母均是s的实系数多项式，因此，对分子、分母多项式因式分解后，传递函数可以写成

式中，K称为放大系数（或增益系数）；z_i（i＝1，2，…，m）称为G（s）的零点，即0；p_j（j＝1，2，…，n）称为G（s）的极点，因为，零点和极点统称为零极点。也就是说，G（s）的零极点分别是其分子与分母多项式的根。事实上，传递函数G（s）的分母多项式与其状态空间模型的特征多项式有严格对应关系，所以G（s）的极点有时又称为系统的特征值，具体留待后续讨论。

一般地，线性定常微分方程解析解可由形如以及t^r的代数和表述，这里，p_t为传递函数复极点的实部，而ω为其虚部，r为特征值的重数。由此可见，传递函数极点在复平面的位置与分布对系统特性有直接和重要的影响。

2.4.3 传递函数与输入输出关系

由式（2-15）的两边同乘输入信号的拉氏变换U（s），则

即系统输出响应的拉氏变换等于传递函数与输入拉氏变换的积。利用此式讨论系统输入输出关系是单纯的代数过程，避免了微分方程求解，是十分方便的。

2.4.4 典型环节及其传递函数

控制系统是由各种元器件或设备组成的，从物理特性上区分可以是截然不同的，但从数学模型上可以分成由典型传递函数的组合。这里先介绍典型环节。

（1）比例环节

式中，K为常数增益。

（2）惯性环节

式中，T为惯性常数。

（3）积分环节

式中，T为积分时间常数，该环节可改善系统稳态响应特性。

（4）微分环节

式中，T为微分时间常数。该环节常用来改善系统动态响应特性，反映系统变化趋势。

（5）振荡环节

其中，ω_n＝1/T称为无阻尼自然振荡频率；ρ为阻尼比。

（6）延滞环节

式中，τ为时间滞后。一般地，延迟对系统稳定不利。

表2-1是对以上各环节模型及其输入输出关系的归纳。