2.3 控制系统数学模型的后处理技术

不论对象系统具体是什么都可依步骤建立数学模型。不难理解，若导出的微分方程阶数很高（≥3阶），对其求解会比较困难；若方程中还出现了非线性关系，则微分方程的直接求解几乎行不通，此时就需要对模型进行简化。这里介绍模型简化的典型后处理技术。

2.3.1 微分或差分方程的一般形式

控制系统的微分方程一般可写成

若是差分方程，则一般可写成

式中，；i∈n，j∈m；a_i（t）（或a_i（k））∈R，b_j（t）（或b_j（k））∈R。一般地，式（2-5）的微分方程用于连续时间系统，式（2-6）的差分方程对应离散时间系统。根据式（2-5）和式（2-6）的系数特点，微分或差分方程有如下典型类型。

● 当a_i（t）、b_j（t）（或a_i（k）、b_j（k））均为常数时，式（2-5）和式（2-6）分别称为线性时不变微分、差分方程。

● 当a_i（t）、b_j（t）（或a_i（k）、b_j（k））随t（或k）变动时，则式（2-5）和式（2-6）分别称为线性时变微分、差分方程。

若控制系统的微分方程可以写成

式中，f（y（t），u（t），t）是y（t）和u（t）的非线性函数，式（2-7）称为非线性微分方程，对于差分方程可类似称呼。非线性微分方程的类型很多，式（2-7）只是其中一种。

2.3.2 非线性模型的线性化

实际控制系统或多或少具有非线性特性，不能用式（2-5）或式（2-6）的线性微分（差分）方程来直接描述。但求解非线性微分（差分）方程一般是困难的，需要对非线性方程进行建模后的简化处理。常用建模后处理技术之一是对非线性关系的线性化。

（1）非线性曲线拟合意义的线性化

若式（2-7）中的f（·，·，·）如图2-4所示。不难理解，线性函数关系的直线OA是较接近于曲线O′A′的，因此，不妨用OA的直线近似曲线O′A′，即通过曲线拟合就实现了对f（·，·，·）的线性化。

（2）小偏差意义的线性化

当某些非线性函数会在某点附近变动，且偏离该点也不是很大时，非线性函数就可用忽略掉变动偏差的线性量近似，如图2-5所示。

小偏差意义线性化的步骤如下。

1）根据物理或化学定律列出原始方程，找出中间变量及其与其他变量的关系，消去中间变量，建立对象系统的原始微分（差分）方程。

2）在工作点（如平衡点）将微分（差分）方程的非线性函数展开成Taylor级数，保留其一阶项，忽略二阶项以上高次项，形成非线性函数的线性近似。

3）整理并写出以线性化表示的微分或差分方程。

例2-3 对图2-6所示的水平行车垂直圆摆系统，在忽略摩擦力和空气阻力的条件下，建立系统的状态空间方程模型，确定平衡点位置并线性化简化。

图2-6中的各符号的定义与物理意义如下。

● M为行车的质量；m为摆杆顶端小球的质量；mg为小球m受到的重力。

● l为刚性摆杆长度，摆杆质量忽略不计。

● F为作用到行车的外力。

● f_h、f_v分别为摆杆作用对小球支撑力的水平和垂直方向的分量。

● ρ、θ分别为行车相对于固定坐标的位移，摆杆与固定于行车的垂直轴的夹角。

解：首先，根据行车水平方向力分析，由牛顿第二定律给出

其次，根据摆杆顶端小球的水平方向力分析，类似得到

接下来，考虑小球围绕摆杆转轴旋转运动的切线方向。此方向上小球只受重力分量作用，沿切线方向的牛顿运动方程为

为严格理解式（2-10），注意l（dθ（t）/dt）为小球切线方向的线速度，l（d²θ（t）/dt²）为线加速度。

最后，基于式（2-8）、式（2-9）和式（2-10），选择如下状态变量：

经过简单而冗长的代数运算，消除中间变量f_h（t）后，写成矩阵方程形式，得

式中，x（t）＝［x₁（t），x₂（t），x₃（t），x₄（t）］^T∈R⁴，且

显然，式（2-11）为非线性的状态向量微分方程。

由微分方程平衡点定义，F（t）＝0时的平衡点方程为

注意到，对任何常数c∈R，x₁（t）＝c，（t）＝0。于是，上式的平衡点解需满足x_e（t）＝［c，0，x_3e（t），0］^T且f₂（x_e（t））＝f₃（x_e（t））＝0。由此可知，x_3e（t）＝kπ，k＝0，±1，…。不难看出，存在两组角度有2π周期关系的平衡点，即

这说明，图2-6的水平行车垂直圆摆系统有上、下两个平衡位置。更形象地说，在水平轨道任何一点，只要小车速度为零，摆杆垂直倒立或垂直下垂并停摆，系统就达到了平衡状态。以后，分别称这样的平衡位置为垂直向上（向下）平衡位置。

由于式（2-11）是复杂非线性微分方程，不便数学分析和处理，下面分别基于曲线拟合和小偏差近似方法建立其线性简化模型。

首先，考虑对非线性微分方程式（2-11）在曲线拟合意义下的线性化。假设摆杆与垂直向上平衡位置只有微小偏角，且摆角速度很慢，即x₃（t）→0，x₄（t）→0。此时，三角函数性质满足

代入式（2-11），其近似为

这里，A∈R^4×4和B∈R^4×1是常数矩阵。式（2-13）是系统在平衡点附近的线性模型。

其次，考虑基于小偏差意义的线性化。具体地，对式（2-11）在其垂直向下平衡位置做线性化模型后处理。注意到，如下偏导数运算成立：

和

于是依定义，在垂直向下平衡位置处的Jacobian矩阵为

上述线性化过程很烦琐，读者会问，为什么在垂直向下平衡位置不可以按照参数曲线进行拟合近似。原因是在该平衡位置，三角函数的近似关系式即式（2-12）不成立。

需要注意的是，与上述线性化状态矩阵处理相对应，线性模型式（2-13）中的输入矩阵B是非线性模型式（2-11）中与输入相关部分在相应平衡点赋值的结果，即

和

显然，对垂直向上和向下平衡位置的线性化模型的输入矩阵是不一样的。

2.3.3 模型降阶

即使模型是线性的，若其微分或差分方程阶次过高（≥4阶），则求解和分析处理也是十分困难的，因此模型后处理的另一技术就是用低阶线性模型近似高阶线性模型。由于适合于模型降阶的模型类型还未介绍，在此暂不做具体讨论。