2.3.2 欧几里得空间（Euclid space）
设
是实数域
上的线性空间，对于
中任意两个向量
（可相等），加入某种规则使
与
对应一个实数，记为
，满足以下条件：
● 
● 
= 
+ 
● 
= k
● 
，而如果x = 0，则
=0
则称该实数
是向量
与
的内积。
定义了内积的实线性空间
就叫作欧几里得空间，简称欧氏空间（或实内积空间）。
（1）容易验证，在n维向量空间
中，任意两个向量的数量积为
中的内积，而且这是
中最常用的内积定义。因此，
是
维欧氏空间。
（2）闭区间
上的实连续函数的全体按通常意义的加法和数乘运算构成无穷维线性空间
对于函数
，定义内积
，则
构成欧氏空间（无穷维的）。
内积有如下基本性质：
● 
= k
● 
= 
+ 
● 
● (
,
) = 
欧氏空间中还有以下几个基本概念值得注意。
1．长度 非负实数
叫作向量
的长度或模，记为
。长度为1的向量叫作单位向量。
2．单位化 即
一个单位向量，此过程称为向量
的单位化或规范化。
3．柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式 即
，又称柯西-布涅柯夫斯基（Бyнияковcкии）不等式。
柯西-施瓦茨不等式的几何解释是
满足
。
柯西-施瓦茨不等式有两种形式：
● 在欧氏空间
中，内积为数量积，则
● 对于欧氏空间
，则
柯西-施瓦茨不等式有如下推论形式：
● 
称为向量
与
之间的距离。
● 
● 
4．度量矩阵
欧氏空间中向量的内积可以转化成坐标计算问题。
定义 假定
是n维欧氏空间
的基，
中任意两个向量
的坐标为
，则
其中
。
我们把
叫作基
的度量矩阵，又叫作格拉姆（Gram）矩阵。
度量矩阵具有如下三个性质：
（1）度量矩阵是对称正定矩阵。
（2）两组不同基的度量矩阵是不同的，但它们是相合的。
（3）正交性。
关于正交性的一些概念、定义、定理以及性质如下。
5．正交 设
为欧氏空间的两个向量，如果
，则称
与
正交，记为
。
若向量
与
正交，则有
，在二维空间中称为商高定理。
6．正交向量组 如果欧氏空间中的一组非零向量两两正交，则称其为一个正交向量组。
（1）若
是正交向量组，则
（2）正交向量组必定是线性无关的。
7．正交规范化 从一组线性无关向量出发，必然可以构造出一组数量相同并且等价的两两正交的向量，而且每个新向量的长度（模）还可以为1（即单位向量），这种做法叫作线性无关向量组的正交规范化。
8．施密特正交化方法 指对于一组线性无关向量，先进行正交化，再进行单位化的过程。
（1）设
为一组线性无关向量，其正交化递推公式为：
（2）规范化的公式为：
9．标准正交基 将解析几何中的直角坐标系的概念推广到n维欧氏空间。在欧氏空间
中，由n个向量构成的正交向量组称为
的正交基。由单位向量构成的正交基叫作标准正交基。
（1）任何
维欧氏空间都有正交基和标准正交基。
（2）一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。
（3）标准正交基为我们做研究提供了极大的方便。在欧氏空间中，采用标准正交基可以以最简单的形式写出向量的内积；在三维几何空间
中，采用笛卡儿坐标系
作为标准正交基。