2.1.1　范数

范数（norm）是一个函数，用来度量向量或者向量空间的大小和长度。在泛函分析与计算数学中，特别是在数值代数中，以及在研究数值方法的收敛性、稳定性及误差分析等问题时，范数都扮演着重要角色。在赋范线性空间中，范数的定义需要满足三个条件：非负性、齐次性和三角不等式。

我们先介绍向量范数，再来看矩阵范数的概念。

2.1.1.1　向量范数

定义　若V是数域P上的线性空间，而且对于V的任一向量，若实值函数满足如下条件：

（1）�≥0

（2）

（3）

则称为向量范数，其中表示n维向量空间。

向量范数是对向量大小的一种度量，可以形象地理解为向量的长度，比如向量到零点的距离，抑或相应的两个点之间的距离。

下面列出几个有代表性的n阶向量范数。

1．

L1表示向量各元素的绝对值之和。

2．

表示欧氏空间中的点到原点的距离，因此也称为欧氏（Euclidean）范数或者弗罗贝尼乌斯（Frobenius）范数。

3．

可以看到L1、L2与Lp其实是相同的形式。

4．

表示向量的元素中绝对值的最大值，称为无穷范数，也是一致范数（对于一个紧支撑的连续函数而言，它的一致范数可以理解为Lp意义下的范数的极限）。

如图2-1所示，Lp球显示了在三维空间中不同范数的直观含义。随着p值的递减，Lp所代表的空间大小也相应递减。

实际上，范数不仅应用于n维向量空间，对于所有的赋范线性空间，范数的定义都成立。在后面介绍矩阵的相关理论时，我们还会讲到这个概念。

2.1.1.2　矩阵范数

定义　设为矩阵，是上的向量范数，是上的向量范数，则定义矩阵范数为：

矩阵范数具有与向量范数相似的性质。二者的区别在于，向量范数的性质包含在定义的条件中。矩阵范数由于包含了向量范数的定义，因此有如下性质：

（1）

（2）

（3）

（4）

其中，为矩阵，是矩阵，为实数，。

同样地，下面列出几个有代表性的n阶矩阵范数：

（1），称为列范数。

（2），表示的绝对值的最大特征值，又被称为谱范数。

（3），称为行范数。

其中，矩阵。