找到了宇宙运动最高法则的智者——“拉普拉斯妖”随笔之二

物理世界中一位罕见的智者，

一位承前启后的大学者。

一、两件事，三个问题

约在400万年前，人类的直接祖先在地球上出现了。他们一睁开朦胧、迷茫的双眼，就看到两件事：一件是看到了周围的“东西”，如树木、流水、飞禽、走兽、星云、日月等；另一件是看到了这些“东西在动”，如树枝的摇晃、溪水的流动、禽兽的飞奔、星移云游和日月运行等。

几百万年过去了，若以今天的人们看到的大自然与最早的人类看到的大自然相比，也许只是在广度和深度上有所扩展，看到的仍然是“东西存在着”和“东西在运动”。从这个意义上讲，最初的人类通过眼睛就获得了物质世界的完整表象。

人们看到了这两件事情，随之会想到三个问题：这些“东西”是从哪儿来的？这些“东西”是由什么构成的？这些“东西”为什么会做这样或那样的运动？

这看似普通的三个问题，实际上构成了自然科学的永恒主题，贯穿着全部自然科学的内容，也贯穿了全部自然科学史。至今不少自然科学家的探索仍然是沿着这些问题前行的；今后许多自然科学家的不懈努力仍然是为了寻找这些问题的答案。

对第一个问题的回答，在“宇宙是如何进入存在的”随笔中有专门的论述，这里讨论后两个问题。

最早回答第二个问题的是古希腊哲学家德谟克里特等人，他们提出了宇宙万物是由原子构成的；原子坚不可摧，是永不变化的物质最小颗粒；它们的组合就构成了各式各样的物体。直到100多年前，大多数科学家仍然持这样的观点。

最早回答第三个问题的也是古希腊哲学家亚里士多德。他最先认真、系统地研究了这个问题，取得了某些成果，而由于历史的局限性，也存在错误。自亚里士多德以后的很长一个历史时期，过了2000多年的漫长岁月，直到牛顿的《原理》问世，才真正有了系统解决物体的位置移动（机械运动）问题的科学理论。德谟克里特的原子论加上牛顿的运动理论，人类就获得了后两个问题的阶段性答案。

二、从一个点形成的世界观

物体既然是由原子构成的，原子的运动及其组合的运动也就构成了宇宙间万物的各种各样运动。然而原子太小，人们不能直接看到，直接的研究只能从一个看得见的物体开始，这或许是人类研究物体运动的一个必然的起点，牛顿的工作就是从这个起点开始的。为了找到物体运动的规律，他把物体简化为一个有质量的点，称作质点，建立了关于质点运动的规律，用数学上的二阶微分方程表示。

要弄清这个质点的运动情况，只要求得这个方程解就可以了。所谓求方程的解，就是根据已知的条件，对方程进行两次积分，找到质点位置随时间变化的一个函数，这个函数包含了质点运动的全部信息，使我们在任意时刻可以找到质点的位置以及描写它运动的速度、加速度等物理量。

如果一个质点的运动问题搞清楚了，那么对于一个较大的物质系统，首先，只要把它分割成若干个质点，然后，建立各个质点的方程，把这些方程都解出来，这个系统的运动也就完全确定了。理论力学中的理论主要就是按这种思想模式建立起来的。

这一看法不但在刚体、流体力学中都取得了很大的成功，在当时人们能涉及的经验范围内，大量的事实也证实了这种看法的正确性。这就形成了一种很强的信念：牛顿力学就是打开宇宙间一切奥秘的钥匙。

牛顿本人在他的《原理》中宣称：“自然界的一切现象，全可以根据力学的原理用相似的推理，一一演绎出来。”德国著名物理学家赫兹也说：“所有物理学家都同意：物理学问题在于将自然现象追溯到力学的简单定律。”

这就形成了这样一种观点：物质世界中的各种物体的运动，都可以分割为点的机械运动或它们的集合，这样，机械运动的特点和规律当然就能说明物质世界的全部运动。机械运动的理论是牛顿力学，这样牛顿理论就可以来阐明宇宙间全部运动现象。

德国著名哲学家康德说：“唯独力学的解释方式才颂扬了宇宙之美，同样也颂扬了神的启示和万能。”这就在人们的脑子中，自然地构造出了一幅可以由牛顿理论来决定的物质世界的全部运动图像。

三、理论表述“品质”的提升

牛顿力学研究的对象在从单质点系统向多质点系统拓展的过程中，虽然取得了很大的成功，然而，在许多地方也遇到了障碍。这是因为要弄清系统的情况，有时要对大量的质点建立方程，质点数的增大会使得方程的数目多得无法求解。如果系统中各质点之间还存在相互作用，则作用于某一质点上的力还会与其他质点之间的情形相关，这就使得人们无力去求解。

譬如在太阳系中，简化这个系统，认为只有太阳、地球、月亮三个天体，而且把这三个天体再简化为质点，由此来考察地球的运动。这不但要考虑太阳、月球相对地球位置的不断变化，还要考虑由此产生的引力的不断变化。这个三体系统方程的解就非常困难，更不用说推广到质点数更多及相互作用更复杂的情形。因而想用牛顿理论来研究整个物质世界的运动，理论上似乎可以说得通，但实际上根本做不到。

哈密顿（1805—1865年）是19世纪爱尔兰物理学家、数学家。他12岁时就开始研究牛顿理论，在求解包含任意数目的质点系统的这一复杂问题上，前进了一大步。

首先，他对多质点构成的系统进行了简化。把考察的系统只限于存在保守力（弹力、重力、万有引力等）的所谓保守系，周围环境对系统的约束也是一种简单的理想情况，即没有摩擦之类能量耗散的情形。

这种做法是物理学中惯用的。因为物理学要考察的对象，无论是简单的还是复杂的，几乎都要进行简化，忽略其次要的因素，突出主要矛盾，成为一种理想情况，以便建立方程，找到方程的解，然后再对非理想化的情况进行必要的修正，可以说，这种解决问题的方法比比皆是：牛顿把研究对象简化为质点才建立了动力学方程；伽利略略去了一个落体在运动中可能会遇到的各种情况才得出了自由落体运动公式，等等。

其次，哈密顿改变了牛顿把质点的位置作为描写系统状态的基本变量做法，而是把每一个质点的位置和动量都当作“没有任何联系”的两个独立变量，这样描写系统状态变量数就扩大了一倍。比如，对于一个质点，把描述它运动状态的3个位置变量，扩大为3个位置变量和3个动量变量。对于n个粒子构成的系统，其运动状态就用6n个变量（3n个是位置，3n个是动量）来描述。

这些变量可以构成一个所谓哈密顿函数，并由这个函数导出一组一阶的哈密顿方程，方程的数目比牛顿运动方程多了一倍，然而，因为哈密顿方程是一阶的微分方程组，所以在这样的方程中只有物理量的变化率（一阶导数），而不涉及物理量变化率的变化率（二阶导数），而且形式简洁、对称，给方程的解带来了许多方便。

该方程还有两个特点：一是如果选择的位置变量不是线度而是角度，对应的动量就不是线动量而是角动量，其哈密顿方程的形式不变；二是它不仅在牛顿力学范围内成立，而且在电磁场理论、在狭义相对论中，甚至广义相对论也可以纳入到哈密顿方程的框架中去，说明哈密顿方程有着深刻的内涵，揭示了物质世界更高程度的统一性。

四、为数值解法提供了可能

哈密顿方程的建立，也为我们求解系统的运动找到了一种新方法，实现了对一个复杂系统用数值求解的可能。为了能把这个问题说清楚，可从数学的角度做一个扼要的说明。

一个随时间而变的函数Y（t），如果知道它在某时刻的取值是Y（t0），又知道这一时刻函数的变化率Y′（t0），就可以求得该函数在一小段时间Δt后的近似值，其表示式是

Y（t+Δt）=Y（t0）+Y′（t0）Δt

这就是说，一个以时间作为自变量的函数，它在一段短时间后的取值，可以近似等于这个函数当下的取值，加上函数的变化率（函数的一阶导数）乘以这段时间的间隔。从解析几何来看，这相当于在一个很短的时间间隔内把一段函数曲线近似地当作直线来处理，从而求得函数变化后的值。

由动量和坐标构成的哈密顿函数，把它们代入哈密顿方程后，得到的是关于坐标和动量对时间的一阶导数的一组函数，这组函数仍然是用动量和坐标来表示的。这一点非常重要，是能用数值解法求解哈密顿方程的关键。因为，如果知道了系统的初始的动量和坐标的值［系统的初态，相当于Y（t0）］，通过哈密顿方程就得到坐标和动量一阶导数的函数，它仍然是用动量和坐标来表示的，代入初始值，就能知道动量和坐标在初始时对时间的变化率，即对时间一阶导数的值［相当于Y′（t0）］。

这样，按照上面的说明和相关的公式，就能使我们计算出在稍后时刻的动量和坐标的取值［相当于Y（t+Δt）］，再把计算出来的值当作（t0+Δt）时的初始条件，代入由位置与动量表示的一阶导数的表示式，又可以求得（t0+Δt+Δt）时位置和动量的取值……重复同样的过程，这种小步骤的多次重复，就获得了哈密顿方程的数值解。这也意味着若已知系统的位置与动量的初始值，通过哈密顿方程就可以算得系统任意时刻位置和动量取值，即获得系统在任一时刻状态的描述。这是牛顿力学用哈密顿方法表述的重大进步。

这一方法是对多质点系统方程的解的重大突破，把这一思想扩大到整个宇宙，就会自然出现这样一种看法：如果能写出宇宙的哈密顿函数，又知道宇宙的初始条件，哈密顿方程提供的函数对时间的一次变化率，宇宙未来的变化原则上可以通过一次次的迭代计算出来。

五、理论的升华

哈密顿的工作还有更精彩的表现。他实际上是把牛顿理论做到了一种境界，做到了极致，他把牛顿力学浓缩为一个异常简约的原理。

为了介绍这个原理的思想，我们先说一个简单的例子，为了解这个原理做点铺垫。

有甲、乙两个朋友。甲在岸上行走，突然看到了乙在远处的水面上挣扎呼救，甲为了尽快地救出乙，希望能以最短的时间赶到乙处。假定甲无论是在岸上还是在水中，都能以他最快的速度向乙靠近，但由于甲的“水”“陆”速度不同，要达到用最短时间结束这个过程，还有一个路径选择的问题，即在哪里下水才是最佳的。

如果甲是一束光，那事情就好办了，因为光有一种神奇的能力，它从出发点到抵达点，会根据自己的“水”“陆”速度的不同，自动地选择最佳的入水处，选择用时最短的那一条路径从甲处到乙处。这就是法国大数学家费马（1601—1665年）在17世纪提出来的“费马原理”。这个原理可以表述为“在两个给定的点之间，光会选取能在最短的时间内经历这两点的路径”。

光的运动有这样的特点，一个质点的运动有没有类似的特点呢？

一位牛顿理论的研究者，法国人莫培督（1698—1759年）早在1744年就指出，质点运动有类似于光的性质，它在通过两点的运动过程中，其中有一个物理量，会取最小的值；接着瑞士数学家欧拉（1707—1783年）更好地表达了这一思想，并用严谨的数学形式表述出来；到了1843年，哈密顿完善了这一工作，首次提出了表示这一思想的普遍形式，称作“哈密顿原理”。

哈密顿定义了一个质点从开始到终点运动的过程中的一个物理量，叫作作用量，这个量的大小是质点的动能与势能的差（称作拉格朗日函数）的时间平均值乘以运动过程的时间。按照这个定义通常是把作用量写成积分的形式，就是被考察的对象在运动过程中的拉格朗日函数对时间进行积分的值。

哈密顿原理是说，一个质点在开始运动的起点P到运动的终点Q之间，在这段确定的时间内可能发生的一切运动中，真正会出现的运动其作用量取极值，或者说质点真实运动是选择了作用量取最小值的那条路径，因此这个原理也称作“最小作用量原理”。

既然自然界里物体的真实运动的作用量是取极值的，而在数学中求一个函数的极值，是求这个函数的变分，让其等于零，就可以求得极值。因此，用数学的方法来表示哈密顿原理，就是这样的：以作用量函数的变分为零得到的解，就是质点可实现的在自然界中的真实运动。可以将这个原理看作经典力学的基石，也有人称之为质点运动所必须遵循的“最高原则”，数学的表示式是

式中，δ是数学上的变分符号，L是拉格朗日函数，对这个函数的积分（）得到的是作用量函数（简称作用量），对它的变分等于零就是“哈密顿原理”。

这个“原理”的数学表述是如此简洁，又一次验证了古希腊毕达哥拉斯学派早就提出的一种看法：宇宙的秩序是由几条简单而优美的法则决定的，宇宙中存在着不可思议的简单秩序，这些秩序是可以被人们找到的。这一信念虽然无法作严格的证明，但几乎成了许多科学家的信仰，并渗透到了他们的灵魂深处。爱因斯坦把这种信念称为对宇宙的宗教情结。这种信念也成了不少科学家工作的目标和前进的动力。

从理论上看，这个世界中每个粒子的运动都应当遵循这个“最高原则”，而物质世界可看作由无限多个粒子（原子）组成的，那么，整个世界也就必定会遵循这个最高原则。这就是说，宇宙从过去运动到现在，又从现在运动到未来，它在任何一个时间段内的真实变化过程，都决定于宇宙运动的作用量取一个极值。或者说，宇宙系统的运动过程会受到作用量取极值的制约，宇宙必须按这一“最高原则”选择自己的路，从现在走向未来，从今天走向明天。

哈密顿原理与费马原理的相似性，表明一个粒子的运动也会像光那样选择自己运动的路径，这就出现了一个异常奇怪的问题：运动的“光”或“粒子”怎么会选择“取极小值”的那条路径呢？这个“光”或“粒子”是如何通过各种可能的路径“取样”，选择出这条正确的路径的呢？

人们对物质世界的认识是从经验开始的，通过实践，经过思考，建立了理论，但是人类还会遇到经验所不及的许多事情。比如，上述光的路径为什么总会取最短的时间？粒子的路径为什么总会取最小的作用量？对于这些问题，科学只能告诉我们按实验和理论应当“是”这样的，然而不能告诉我们自然界为什么会是这样的。

这些问题的终极答案往往离人们的经验很远，似乎反而离神学更近一些。神学给这些问题的答案归结为神的意志和创造，可能正是因为这种缘故，使得自然科学的一端往往会与神学发生关联。

六、对后续物理学的影响

哈密顿原理的发表，对20世纪20年代发展起来的量子力学也产生了重大影响。

量子力学研究的对象，是一个具有波粒二象性的客体。这是由法国物理学家德布罗意（1892—1987年）首先提出来的，这个客体与物理学中的其他分支研究对象都不一样，它是一个不能用在人类的经验范围内的具体模样来表述的奇异形体，说它既像波又像粒子，或者说既不像波又不像粒子，像谁都没有说清楚的一抹幽灵。

德布罗意怎么会提出这样一个物理学中“怪物”呢？这与“哈密顿原理”有关。

德布罗意了解200多年来光的粒子说与光的波动说之间的争论。他知道曾经一度非常成功的几何光学后来被波动光学所取代，几何光学只是在光波波长趋于零的极限情况下波动光学的近似。他也知道，早在近百年前，哈密顿原理就表明了经典力学与几何光学在数学结构上的相似性。他还用哈密顿原理和费马原理等价性的证明，来说明用光可以描述粒子的运动，同样用粒子也可以描述光的运动。

他当然更清楚20世纪初，普朗克、爱因斯坦、康普顿等人关于光具有粒子性的研究工作。他认为，人们长期以来对光的研究偏重于波动的图像，而忽略了粒子的图像，而对实物粒子的认识上又发生了相反的错误，把粒子的图像想得太多，忽略了波动的图像。基于这样的思考，他在1924年提出了一个大胆的假设：既然光具有粒子性，那么实物粒子也应当具有波动性。

量子力学有三种表述形式，即海伯堡的矩阵力学、薛定谔的波动力学和费曼的路径积分。可以这么说，后两种形式都是由哈密顿原理衍生出来的“产品”。

德布罗意提出了一个实物粒子也具有波动性后，这给了奥地利的物理学家薛定谔很大的启发。薛定谔认为经典力学在微小的物质领域不能适用，应当存在一种波动力学，它在全部物质领域应当是能够适用的，而牛顿力学仅仅是波动力学在宏观世界中的一种近似。这类似于几何光学仅仅是波动光学的一种近似。

薛定谔就是用了哈密顿原理的最初的莫培督形式，与几何光学中的费马原理进行了类比，把一个粒子的运动和一束光的运动进行比较，经过一番努力，在1925年年底到1926年年初，得到了以他的名字命名的波动力学方程。这一方程获得了巨大的成功。

也许正是由于费马原理与最小作用量原理是光与粒子的运动要遵循的规律，因此，由这种思想结合而建立起来的波动力学方程很有可能会成为微观世界里具有波粒二象性的微观客体的运动要遵循的规律。这应该是对薛定谔方程能获得如此成功的一个合理解释。以上内容可参阅“薛定谔猫”随笔之五、七的相关部分。

20世纪著名物理学家、诺贝尔物理学奖获得者费曼，也深受哈密顿原理的思想影响。他还在上初中时，就遇到了一位物理老师，给他讲述了最小作用量原理的思想。费曼对此产生了强烈的兴趣，对这一原理的偏爱，一直影响着他日后的研究工作。

费曼用经典力学中的最小作用量原理来研究量子力学问题，24岁时写出了博士论文《在量子力学中的最小作用量原理》。到了1947年，29岁的费曼整理和修改了原来的博士论文，把它变成了一种普遍性的理论，论文的题目是《非相对论性量子力学的空间-时间方法》，发表在1948年的《近代物理评论》上。这篇论文第一次公开阐述了他所创立的量子力学的路径积分方法。费曼把粒子从初态到终态，在时空中全部可能出现的路径所贡献振幅都进行了叠加或积分，以构成系统的总振幅，作为描述系统状态的函数。

今天，费曼所提出的路径积分，已成功地运用于粒子物理、核物理、原子物理、高分子物理、材料物理、经典的波动分析和宇宙论等各个物理学分支。

总之，哈密顿方程告诉人们，倘若有一台巨型的计算机，把宇宙的“今天相关信息”输进去，利用哈密顿方程，进行迭代计算，一个确定的宇宙“明天的样子”就可以输出来；哈密顿原理又告诉人们，用宇宙中一个称作作用量的变分会淘汰宇宙中可能出现的其他运动，而选择出宇宙将要展现的真实运动；哈密顿工作还告诉人们，他走过的足迹是一支路标，会使后来者受到启发，找到方向，实现理论上的新突破。

哈密顿，在人类的科学史上无疑是一位罕见的智者。