2.1　导数

f′（x）是单自变量x的函数f的导数，它是f的值在x处的变化速率。作图时，通常使用函数在x处的切线表示，如图2.1所示。导数的值等于切线的斜率。

图2.1　函数f用黑色表示，f（x）的切线用灰色表示。f在x处的导数是切线的斜率

可以使用导数来表示x附近函数的线性近似：

导数是x点处f的变化与x的变化之比：

即f（x）的变化量除以x的变化量，当步长变得无穷小时，如图2.2所示。

图2.2　切线是由具有足够小的步长差的点连接而得到的

f′（x）是拉格朗日发明的导数表示法。我们还可以使用莱布尼茨创建的表示法，

其强调了一个事实，即导数是f的变化量与x的变化量在x点的比率。

导数的极限方程可以用三种不同的方式表示：前向差分、中心差分和后向差分。每种方式都使用无穷小的步长h：

如果f可以用符号表示，那么符号微分通常可以用微积分中的导数规则来给出f′的精确解析表达式。然后可以计算任意点x处的解析表达式。例2.1说明了该过程。

例2.1　符号微分提供解析导数

符号微分的实现细节不在本书的讨论范围之内。多种软件包（如Julia中的SymEngine.jl和Python中的SymPy）都提供了实现。这里我们使用SymEngine.jl来计算x2+x/2-sin（x）/x的导数。