2.2　频域分析

令xt是均值为零的平稳过程，其自协方差Rk=Cov（xt，xt-k），且

存在，则称s（w）为序列的功率谱（power spectrum），=s（w）/Var（x）为标准化谱。s（w）和都是频率w的正的偶函数。自协方差序列和功率谱存在一一对应关系，可以根据（2-6）导出下式（2-7），反之亦然。

研究序列周期性或近似周期性时，谱能提供有用的解释。利用Qk=Cov（xt，yt-k）代替（2-6）的Rk得到比较复杂的互谱函数c（w），该函数测量对应各频率的序列滞后阶数及不同频率的关联强度。Granger和Hatanaka（1964）讨论了该函数，Koopmans（1974）也研究了该函数的检验和估计问题。

总体而言，上述函数有利于分析序列的非线性性质。定义均值为m的平稳序列xt的三阶中心自相关矩（third-order central automoment）如下：

C（k，s）=E［（xt-m）（xt+k-m）（xt+s-m）］　（2-8）

以下的对称关系成立：

C（k，s）=C（s，k）=C（-k，s-k）=C（k-s，-s）

定义双谱（bispectrum）为：

其逆函数为：

根据对称性，只要知道区域0≤w1，w2≤π，w1+w2≤π内的双谱即可。

如果xt是平稳的线性过程，且：

其中，εt是均值为零的独立同分布序列，xt的谱就等于：

双谱为：

f（ω1，ω2）=s（ω1）s（ω2）s（ω1+ω2）λ3　（2-10）

其中，。如果λ3=0，在所有频率上，就有f（w1，w2）=0。例如，Guassian过程（Guassian process）的函数：

称为标准化双谱。对于线性序列，该函数在所有频率上都是常数。因此，该函数可用于研究非线性问题。Ashley、Patterson和Hinich（1986）曾利用该函数进行线性检验，Subba Rao和Gabr（1984）也通过各种示例讨论了估计问题。该方法的问题是不容易解释图形。图形一般是凹凸不平的，并且没有具体的形状。即使是NLAR（1）或双线性模型等简单非线性模型也不具备明显的双谱形状，部分非线性模型在所有频率上都有f（w1，w2）=0，所以该性质不是线性模型的特征。根据Tukey（1959）提出的想法，Godfrey（1965）首先利用经济数据进行双谱估计。Brillinger和Rosenblatt（1967a，b）最早提出双谱理论及高阶函数，即复谱（polyspectra）理论。

交叉双谱（cross-bispectrum）定义适用于研究序列间的关系。令yt和xt是一对平稳序列，均值分别是μy和μx。定义（x→y）的三阶交叉矩（third-order cross-moment）为：

μxx，y（k，s）=E［（yt-μy）（xt+y-μx）（xt+s-μx）］

定义交叉双谱为

如果是单向二次关系，就可以解释该函数。例如，如果xt是Guassian输入序列，且：

其中：

R（j-k）=E［xt-jxt-k］

定义：

Subba Rao和Nunes（1985）证明：

A（ω）=Cxy（ω）/sx（ω）

和

注意如果xt为Guassian序列，一次项xq-j就与（2-12）的二次项xt-jxt-k正交。最简单的非线性模型为：

yt=∑αixt-i+βjk（xt-jxt-k-R（j-k））+εt

该式只有一个二次项，由（2-13）得到：

这样，原则上可以决定单个二次项的j、k阶滞后，但该例过于简单，没有多少实际价值，并且只有在y到x的系统没有反馈时，才存在该结果。数据充分时，值得利用双谱估计的方法检验非线性，但多数场合的双谱估计性质较差，难以解释，因此双谱并不是值得推荐的分析方法。