2.2 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换（简称为拉氏变换）是分析研究线性动态系统的常用数学工具。通过拉普拉斯变换可将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅使运算方便，也使系统的分析大为简化。

2.2.1 拉普拉斯变换的定义

函数f（t）的拉普拉斯变换定义为

式中，f（t）为时间t的函数，且当t＜0时，f（t）=0；s为复变数；L为运算符号；F（s）为f（t）的拉普拉斯变换。

【例2-5】 已知阶跃函数f（t），计算阶跃函数f（t）的拉普拉斯变换F（s）。

式中，A是常数。

解：依据拉普拉斯变换定义有

当A=1时称为单位阶跃函数，即f（t）=1（t），其拉普拉斯变换为

一般地，式（2-9）所示的阶跃函数常常写为f（t）=A·1（t）。

【例2-6】 已知正弦函数

式中，A、ω是常数。试计算正弦函数f（t）的拉普拉斯变换F（s）。

解：依据拉普拉斯变换的定义有

由此可知，函数的拉普拉斯变换通常可利用拉普拉斯变换的定义求得，但在实际应用中，该计算过程较为烦琐。因此提供了另外一种计算方法，即通过查拉普拉斯变换对照表来得到函数的拉普拉斯变换。常用函数及对应的拉普拉斯变换见表2-1，利用此表可查出已知时间函数的拉普拉斯变换，或者已知拉普拉斯变换所对应的时间函数。

2.2.2 拉普拉斯变换定理

下面介绍几个在线性控制系统分析和计算中常用的函数和拉普拉斯变换定理。

1. 位移定理

有时间函数f（t），其拉普拉斯变换为F（s）=L[f（t）]，则有

时间函数f（t）经过a的平移后，所得时间函数f（t-a）的拉普拉斯变换，相当于时间函数f（t）的拉普拉斯变换F（s）与e-as相乘。

在时间函数eatf（t）的拉普拉斯变换中，用（s-a）去替换F（s）中的s，a是实数或复数。式（2-11）非常适合求解e-atsinωt和e-atcosωt等类似函数的拉普拉斯变换。

【例2-7】 已知脉动函数为

式中，A是常量。试计算该脉动函数的拉普拉斯变换。

解：该脉动函数f（t）是一个从t=0开始、幅度为A的阶跃函数，再叠加一个从t=t₀开始、幅度为A的负的阶跃函数，即

f（t）=A·1（t）-A·1（t-t₀）

则f（t）的拉普拉斯变换为

【例2-8】 已知函数e-atcosωt，计算其拉普拉斯变换。

解：已知cosωt的拉普拉斯变换为

则e-atcosωt的拉普拉斯变换为

【例2-9】 已知某信号f（t）如图2-6所示，试求其拉普拉斯变换。

解：由图2-6可知，f（t）由若干个阶跃信号叠加而成，其表达式为

f（t）=a·1（t）+（b-a）·1（t-t₁）-（b-c）·1（t-t₂）-c·1（t-t₃）

已知L[1（t）]=，由式（2-10）有

2. 线性性质

设F₁（s）=L[f₁（t）]，F₂（s）=L[f₂（t）]，a和b为常数，则有

3. 相似定理

设F（s）=L[f（t）]，则有

式中，a为实常数。

【例2-10】 计算函数f（t）=2e-5t的拉普拉斯变换。

解：该题可利用拉普拉斯变换的定义进行求解，也可利用f（t）与e-at相乘来求解。设f（t）=e-t，则f（t）的拉普拉斯变换为

有

需要注意的是，拉普拉斯变换的积分下限在某些情况下是有所区别的。若函数f（t）在t=0处包含脉冲函数，则其拉普拉斯变换的积分下限必须明确地指出是0₊或者0_-。这两种下限的函数f（t）的拉普拉斯变换是不相同的。

4. 初值定理

若函数f（t）及其一阶导数都可进行拉普拉斯变换，而且存在，则函数f（t）的初值为

即原函数f（t）在t→0₊时的极限值，取决于其拉普拉斯F（s）在s→∞时的极限值。初值定理不需要限制sF（s）的极点位置，故其适用于正弦函数sinωt和余弦函数cosωt。

5. 终值定理

若函数f（t）及其一阶导数都可进行拉普拉斯变换，存在，且除在原点处有唯一的极点外，sF（s）在包含jω轴的右半s平面内是解析的，则函数f（t）的终值为

即原函数f（t）在t→∞时的极限值，取决于其拉普拉斯变换F（s）在s→0时的极限值。根据式（2-15）即可求得f（t）在t→∞时的极限值。当f（t）是正弦函数sinωt或余弦函数cosωt时，sF（s）在s=±jω处有极点，并且不存在，故终值定理不适用于正弦函数sinωt和余弦函数cosωt；当t→∞时，f（t）→∞，则不存在，那么终值定理也不适用于此类情况。

6. 微分定理

若函数f（t）及其一阶导数都可进行拉普拉斯变换，那么的拉普拉斯变换为

式中，f（0）是f（t）在t=0处的初始值。

若函数f（t）在t=0处不连续，f（0₊）≠f（0_-），则式（2-16）修正为

若函数f（t）存在n阶导数，则f（t）的n阶导数的拉普拉斯变换为

式中，f（0），f1（0），…，fn-1f（0）分别表示f（t），，…，在t=0处的值。

若f（t）及其各阶导数的初始值均为零，则f（t）的n阶导数的拉普拉斯变换简化为snF（s）。

【例2-11】 已知有函数f（t）=Acosωt（t≥0，A是常量），计算其拉普拉斯变换。

解：由查表法即可得知正弦函数sinωt的拉普拉斯变换。此例采用微分定理来推导。

查表2-1可知

依据微分定理，f（t）的拉普拉斯变换计算如下：

7. 积分定理

若函数f（t）及其一阶积分∫f（t）dt都可进行拉普拉斯变换，则函数∫f（t）dt的拉普拉斯变换为

式中，f-1（0）表示∫f（t）dt在t=0处的值。若f-1（0）=0，则∫f（t）dt的拉普拉斯变换简化为F（s）/s。

若函数f（t）在t=0处有脉冲函数，且f-1（0₊）≠f-1（0_-），则式（2-20）修正为

表2-2列出了拉普拉斯变换的常用定理和关系式。

2.2.3 拉普拉斯反变换

由象函数F（s）求原函数f（t）的过程称为拉普拉斯反变换，是用复变数表达式来推导其相应的时间函数表达式的数学运算。L-1代表拉普拉斯反变换，其计算公式为

式中，c是实常数，其值均大于F（s）的所有奇点的实部。积分的路线平行于jω轴，并且与jω轴的距离是c，以及该积分路线位于F（s）所有奇点的右侧。

从式（2-23）可知，利用拉普拉斯反变换的定义直接求解原函数是非常烦琐的过程。任何连续时间函数（即原函数）与其拉普拉斯变换（即象函数）是一一对应的，因此，在工程实践中常常采用查表法。对简单的象函数而言，可直接查表2-1求得其原函数；对复杂的象函数而言，通常先用部分分式展开法将复杂函数展开成简单函数的和，再查表2-1求其原函数。

象函数F（s）常常表示为两个s多项式的比，其形式如下：

式中，多项式系数a₀，a₁，…，a_n和b₀，b₁，…，b_m均为实常数；多项式B（s）的阶次不高于多项式A（s）的阶次即m≤n，m，n均为正整数。

为了将F（s）写成部分分式的形式，需要对F（s）的分母因式进行分解，则有

式中，s=-p₁，s=-p₂，…，s=-p_n称为F（s）的极点。下面分两种情况来介绍求拉普拉斯反变换的部分分式展开法。

1.A（s）=0无重根情况

此时，F（s）的所有极点彼此不相等，即p₁≠p₂≠…≠p_n。F（s）可展开为n个简单的部分分式之和，每个部分分式都以A（s）的一个因式作为分母，即

式中，c_k为待定常数，k=1，2，…，n，称为F（s）在极点-p_k处的留数，可计算如下：

通过查表2-1、表2-2以及拉普拉斯变换的线性性质，可求得原函数

【例2-12】 求F（s）=的原函数f（t）。

解：将F（s）分解为

依据式（2-27），有

因此，可求得原函数

【例2-13】 求F（s）=的原函数f（t）。

解：由于F（s）分子的阶次大于分母的阶次，对其整理有

式（2-29）中右边最后一项的拉普拉斯反变换见例2-12，因此只需求式中的第一项和第二项的拉普拉斯反变换。查表2-1、表2-2可知，L[δ（t）]=1，，故F（s）的原函数f（t）为

F（s）有共轭复数极点p₁、p₂时，其展开式为

式中，留数c_k（k=3，4，…，n）计算由式（2-27）确定。c₁、c₂计算如下：

p ₁是共轭复数，故式（2-31）的两边也是复数。若极点p₁和p₂是共轭复数，则留数c₁和c₂也是共轭复数。

2.A（s）=0有重根情况

若A（s）=0有r个重根p₁，则F（s）可写为

式中，p₁为F（s）的重极点，p_r+1，…，p_n为F（s）的（n-r）个互不相等的极点；b_r，b_r-1，…，b₁，c_r+1，…，c_n为待定留数，其中，c_r+1，…，c_n按式（2-27）计算，但b_r，b_r-1，…，b₁计算如下：

因此，原函数f（t）为

【例2-14】 求F（s）=的原函数f（t）。

解：由题可知，分母A（s）=0有4个根，即二重根s₁=s₂=-1，以及单根s₃=0，s₄=-3。将F（s）展为部分分式，则有

按式（2-32）计算得

按式（2-27）计算得

则原函数f（t）为

【例2-15】 求F（s）=的原函数f（t）。

解：由题可知，F（s）的分母多项式包含有一对共轭复数根。将F（s）先分解并整理如下：

若将一对共轭复数根直接采用留数法分解后再求解比较烦琐，因此本例采用查表法。经查表2-1和表2-2可得

综上所述，部分分式展开法的特点是将象函数F（s）展开成部分分式，使得F（s）的每一项都是简单函数，那么经查询拉普拉斯变换表或者常用函数的拉普拉斯变换，即可快速求得F（s）的拉普拉斯反变换f（t）。