![工程力学(Ⅱ)(第2版)](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/826/40936826/b_40936826.jpg)
3.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算
3.5.1 圆轴的扭转失效
通过扭转试验发现,不同材料的圆轴在扭转破坏时,断口的形状也不一样。塑性材料在扭转时,当外力偶矩逐渐增大时,材料首先屈服,在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线,此时横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力。当外力偶矩增大到某个数值时,试件就在某一横截面处发生剪断,如图3.16(a)所示,这时破坏截面上的最大切应力称为扭转强度极限。而当脆性材料在扭转时,扭转变形很小,没有明显的屈服阶段,最后发生约45°的螺旋面的断裂破坏,如图3.16(b)所示。扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的极限应力,用τu表示。
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图3.16
3.5.2 强度条件和强度计算
从扭转试验得到了扭转的极限应力,再考虑一定的安全裕度,即将扭转极限应力除以一个安全系数,就得到扭转的许用切应力为
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这个许用切应力是扭转的设计应力,即圆轴内的最大切应力不能超过许用切应力。
对于等截面圆轴,各个截面的抗扭截面系数相等,所以圆轴的最大切应力将发生在扭矩数值最大的截面上,强度条件为
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而对于变截面圆轴,则要综合考虑扭矩的数值和抗扭截面系数,所以强度条件是
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【例3.3】 驾驶盘的直径φ=520mm,加在盘上的平行力P=300N,盘下面的竖轴的材料许用切应力[τ]=60MPa。
(1)当竖轴为实心轴时,设计轴的直径。
(2)采用空心轴,且α=0.8,设计内外直径。
(3)比较实心轴和空心轴的重量比。
解:先计算外力偶和内力。作用在驾驶盘上的外力偶与竖轴内的扭矩相等,计算如下:
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(1)设计实心竖轴的直径。
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(2)设计空心竖轴的直径。
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(3)实心轴与空心轴的重量之比等于横截面面积之比。
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在强度相等的条件下,α=0.8时该实心轴的重量约是空心轴的2倍。所以在工程上,经常使用空心圆轴。
3.5.3 刚度条件和刚度计算
在纯扭转的等截面圆轴中,从式 (3.14)可以得到dφ=dx,它表示圆轴中相距dx的两个横截面之间的相对转角,所以长为l的两个端截面之间的扭转角可以通过对相对转角积分得到:
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因为在纯扭转中,扭矩T和扭转刚度GIp是常量,所以式(3.26)可以简化成
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如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量,则式(3.26)的积分可以写成分段求和的形式,即圆轴两端面之间的扭转角是
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在应用上式计算扭转角时要注意扭矩的符号。
在工程上,对于发生扭转变形的圆轴,除了要考虑圆轴不发生破坏的强度条件之外,还要注意扭转变形问题,这样才能满足工程机械的精度等工程要求。所以用扭曲率作为衡量扭转变形的程度,它不能超过规定的许用值,即要满足扭转变形的刚度条件。
对于扭矩是常量的等截面圆轴,扭曲率最大值一定发生在扭矩最大的截面处,所以,刚度条件可以写成
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式(3.29)中,扭曲率的单位是rad/m。如果使用工程中常用的°/m单位,则式(3.29)可以写成
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对于扭矩是分段常量的阶梯形截面圆轴,其刚度条件是
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或者写成
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【例3.4】 机器的传动轴如图3.17(a)所示,传动轴的转速n=300r/min,主动轮输入功率P1=367kW,三个从动轮的输出功率分别是:P2=P3=110kW,P4=147kW。已知[τ]=40MPa,[θ]=0.3°/m,G=80GPa,试设计轴的直径。
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图3.17
解:(1)求外力偶矩。根据轴的转速和输入与输出功率计算外力偶矩:
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(2)画扭矩图。用截面法求传动轴的内力并画出扭矩图[图3.17(b)]。
从扭矩图中可以得到传动轴内的最大的扭矩值为
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(3)由扭转的强度条件来决定轴的直径。
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_62_8.jpg?sign=1738982419-qfpXdgb4YyrRlK3lB34aqnXhN3sIJ1Qn-0-6d3df789d089db96dd341da2360677b5)
(4)由扭转的刚度条件来决定轴的直径。
![](https://epubservercos.yuewen.com/D9CFBD/21277071001870906/epubprivate/OEBPS/Images/22212_62_9.jpg?sign=1738982419-UQwxPtAADHDweL6P8xUsleWoY8Bc59UZ-0-c0623f087138344c9d1ba297c8d24ad9)
(5)要同时满足强度和刚度条件,应选择(3)和(4)中较大直径者,即
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