2.1 孔隙连续介质力学性质

2.1.1 孔隙连续介质压缩系数

饱和多孔介质一般均作用有内应力和外应力。所谓内应力指饱和多孔介质中的流体产生的静压力p_p，即孔隙压力；而外应力p_c则指多孔介质骨架之间传递的作用力，即有效应力。

孔隙介质在内、外应力的作用下，都会产生一定程度的体积变形。饱和多孔介质在内、外应力作用下产生压缩或膨胀变形，这种变形特性可以采用压缩系数来进行描述。压缩系数的定义主要两种方式：第一种，外应力p_c保持恒定而改变内应力所引起的体积相对变化；第二种，内应力p_p保持恒定而改变外应力所引起的体积相对变化。体积相对变化分为整体体积相对变化dV_b/V_b和骨架体积相对变化dV_s/V_s以及孔隙体积相对变化dV_p/V_p。

岩石有效压缩系数的定义为单位孔隙压力（内应力）变化所引起的孔隙体积的相对变化（Hall,1953），其表达式为

式（2.1）等价于孔隙压缩系数

式中：φ是岩石孔隙度。

压缩系数反映了孔隙介质在内、外应力变化条件下的变形能力。因此，压缩系数有4种不同的定义方法（Zimmerman，1986）。每一种压缩系数的定义都反映了孔隙体积V_p或整体体积V_b在内应力p_p（孔隙中流体压力或孔隙压力）或外应力p_c（试样外围环境压力或围压）变化条件下的变化特性。4种定义表达式如下：

式中：压缩系数的第一下标b或p分别为整体体积或孔隙体积的变化；第二下标c或p分别为围压或孔压变化引起的体积改变原因。

由此可见，c_bc和c_bp是有关整体体积的压缩系数；c_pc和c_pp是有关孔隙体积的压缩系数。式中负号是为了保证压缩系数的数值为正。

从弹性力学角度来说，反应孔隙介质宏观体积变形的参数为K（固体骨架的宏观体积模量）；对于构成孔隙介质的最重要组成部分则是固体介质（非孔隙部分，也称基质），基质在外力作用下的变形特性则用基质的体积模量（K_r）来表征。

压缩系数与孔隙介质弹性宏观变形特性参数之间存在如下关系

尽管构成孔隙介质的固体基质的压缩性很小，但理论上它也具有一定的压缩性，可以用基质压缩系数c_r来表征。基质压缩系数与基质体积模量关系式如下

基质体积模量K_r有时也写成K_m。

由于孔隙介质由孔隙和固体基质两部分构成，因此式（2.3）定义的各种压缩系数之间存在一定的转换关系，其转换关系式为

考虑到c_bc=1/K和c_r=1/K_r，则有

令α=1-K/K_r， α称比奥系数，则有

2.1.2 有效应力原理

孔隙介质中存在着内、外两种应力，或者说孔隙中流体介质承担的压力及固体骨架之间传递的应力（有效应力）。在一定的条件下，这两种应力可以相互转换。因此，对于饱和多孔介质，太沙基给出了著名的有效应力原理

式中:σ为总应力;σ′为有效应力；p为孔隙压力（取负值）。

总应力σ及有效应力σ′符号规定：拉正、压负。

有效应力原理的张量形式为

式中:δ_ij为克罗内克符号；p取负值。

对于太沙基有效应力计算公式，考虑到流体及固体介质一般具备一定的可压缩性，许多学者提出了不同的修改建议。例如，比奥（1941,1957）提出的饱和多孔介质有效应力计算公式为

式中:α为比奥系数，α=1-K/K_r。

由于岩体宏观模量均小于岩石基质的体积模量K_r，故比奥系数一般小于1.0。对于不可压缩固体介质，α取0.0。

式（2.11）与式（2.10）相比，表明考虑流体和孔隙介质的可压缩性后，孔隙介质体内的有效应力将有所增大。

2.1.3 多相孔隙介质的孔隙弹性

多相孔隙介质在内、外应力作用下都将产生一定的变形。比奥（1941）在逆弹性关系基础上考虑孔隙介质中孔隙压力对骨架体系的影响，给出了孔隙介质的弹性变形表达式为

式中：H为附加系数。

为了确定附加系数H，比奥通过对土壤柱进行载荷分析，得出了土壤体积变化与内应力（孔隙压力p）之间的关系式

式（2.13）表明，系数1/H是静水压力改变时土壤的压缩系数。根据压缩系数的定义，有

当孔隙中流体压力从p₀增加到p时，如果孔隙介质（岩石）在宏观上是各向同性的，则孔隙介质在3个互相垂直方向上的变形（拉伸变形）是相等的，并在线弹性范围内不会引起任何剪应变。

根据压缩系数的定义式，当围压不变时，孔隙中流体压力增加所引起的整体体积应变为c_bp(p-p₀)。对选定的特征研究单元，各个方向上的宏观纵向应变与压力增量的关系必定为c_bp/3，故饱和孔隙介质的纵向应变应加上孔隙压力引起的变形c_bp(p-p₀)/3，即

由式（2.8）可知，c_bp=α/K（K为多孔介质骨架的体积模量），代入式（2.15）得到

对式（2.16）进行逆变换，得到饱和多孔介质太沙基-比奥弹性本构关系为

式（2.17）中应力符号规定为拉正压负，孔压符号为负。孔隙中的流体压力对固体基质引起的应变为（p-p₀）δ_ij/3K_r，其中K_r是固体颗粒的体积模量。考虑固体基质变形后，多孔介质体总应变应为宏观应变与流体压力对固体颗粒引起的应变代数和，即

式中:σ′_ij为有效应力。

求解式（2.18）得到

式（2.19）与式（2.17）相同。对式（2.16）取迹，得到

注意到p_c=tr(σ)/3，ε_v=tr(ε)，于是有

式中:p_c和p_p分别为围压和孔压；K为固体骨架的宏观体积模量；α为比奥系数。

2.1.4 多相连续介质的热弹性

取多孔连续介质微元体，不考虑初始应力，假设温度T₀均匀分布。设该状态为参考状态，其应变为零。如果微元温度由T₀变化到T，微元体内将产生变形。当T>T₀，微元膨胀；反之，微元收缩。假设微元体在变温作用下的变形服从线性假设，则变温引起的应变为

式中：β_ij为热膨胀系数张量，它是一个二阶对称张量。

如果多孔连续介质为各向同性介质，则有β_ij=βδ_ij，其中β为线性热膨胀系数，于是变温引起的应变为

式（2.23）右边取负号是为了应变取正值。因为当T>T₀时，体积应变（V₀-V）/V₀或线应变（L₀-L）/L₀为负。

若多孔介质材料同时受到变温和外加应力作用，其总应变应为热应变和外应力引起的应变之和，即

体应变为

求解式（2.24），可得变温和外加应力作用下的应力为

上式即变温和外荷载作用下的多孔介质本构关系。

孔隙流体压力的扩散方程通过质量守恒方程得到，而温度扩散方程可通过能量守恒方程得到。不考虑热源情况下，热扩散方程表达式为

式中:k为热传导系数;ρ为质量密度；c_v为材料的比热。

令D_T=k/ρc_v，称为热扩散系数，其单位为m²/s。于是有

考虑温度引起的存储应变（Nowacki,1986）,则式（2.27）变为

式中:T₀为绝对温度。

将式（2.25）对时间求导得

将式（2.29）代入式（2.28）可得

引入热弹性耦合参数α_T，令

于是，式（2.30）可改写为

式（2.32）即是考虑应变对温度影响的热扩散方程。若α_T《1，则不必预先或同时计算应变才能计算温度场，即可以不考虑多孔介质体变形对温度场的影响。对大多数岩石，α_T取值在10^-1~10^-2量级，因此应变引起的温度变化相对小，所以可以不考虑应变对温度场分布的影响。