3.1 静力分析基础

3.1.1 基本概念与公理

1. 力的概念

力的概念产生于人类从事的生产劳动当中。当人们用手握、拉、掷及举起物体时，由于肌肉紧张而感受到力的作用，这种作用广泛存在于人与物及物与物之间。例如，发动机中汽油的燃烧能推动活塞的移动，锤子的敲打会使烧红的铁块变形等。

（1）力的定义

力是物体之间相互的机械作用，这种作用将使物体的机械运动状态发生变化，或者使物体产生变形。前者称为力的外效应，后者称为力的内效应。

（2）力的三要素

实践证明，力对物体的作用效应，决定于力的大小、方向和作用点的位置，这三个因素就称为力的三要素。在这三个要素中，如果改变其中的任何一个，也就改变了力对物体的作用效应。例如，用扳手拧螺母时，作用在扳手上的力，因大小不同，或方向不同，或作用点不同，它们产生的效果就不同，如图3-1所示。

（3）力是矢量

力是一个既有大小又有方向的量，而且又满足矢量的运算法则，因此力是矢量（或称向量）。

矢量常用一个带箭头的有向线段来表示，如图3-1（b）所示，线段长度AB按一定比例代表力的大小，线段的方位和箭头表示力的方向，其起点或终点表示力的作用点。此线段的延伸称为力的作用线。用黑体字F代表力矢，并以同一字母的非黑体字F代表该矢量的模（大小）。

（4）力的单位

力的国际制单位是牛顿或千牛顿，其符号为N或kN。

2. 力系的有关概念

物体处于平衡状态时，作用于该物体上的力系称为平衡力系。力系平衡所满足的条件称为平衡条件。如果两个力系对同一物体的作用效应完全相同，则称这两个力系互为等效力系。当一个力系与一个力的作用效应完全相同时，把这一个力称为该力系的合力，而该力系中的每一个力称为合力的分力。

必须注意，等效力系只是不改变原力系对于物体作用的外效应，至于内效应显然将随力的作用位置等的改变而有所不同。

3. 刚体的概念

所谓刚体是指在受力状态下保持其几何形状和尺寸不变的物体。这是一个理想化的模型，实际上并不存在这样的物体。但是，工程实际中的机械零件和结构构件，在正常工作情况下所产生的变形，一般都是非常微小的。这样微小的变形对于研究物体外效应的影响极小，是可以忽略不计的。当然，在研究物体的变形问题时，就不能把物体看做刚体，否则会导致错误的结果，甚至无法进行研究。

4. 静力学公理

人们在长期的生活和生产实践中，发现和总结出一些最基本的力学规律，又经过实践的反复检验，证明是符合客观实际的普遍规律，于是就把这些规律作为力学研究的基本出发点。这些规律称为静力学公理。

公理一 二力平衡公理

当一个刚体受两个力作用而处于平衡状态时，其充分与必要的条件是：这两个力大小相等，作用于同一直线上，且方向相反，如图3-2所示。

这个公理揭示了作用于物体上的最简单的力系在平衡时所必须满足的条件，它是静力学中最基本的平衡条件。

二力体——只受两个力作用而平衡的物体称为二力体。

机械和建筑结构中的二力体常常统称为“二力构件”。它们的受力特点是两个力的方向必在二力作用点的连线上。

应用二力体的概念，可以很方便地判定结构中某些构件的受力方向。图3-3所示为三铰拱中的AB部分，当车辆不在该部分上且不计自重时，它只可能通过A、B两点受力，是一个二力构件，故A、B两点的作用力必沿着AB连线的方向。

公理二 加减平衡力系公理

在刚体的原有力系中，加上或减去任一平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。

这一公理的正确性是显而易见的，因为一个平衡力系是不会改变刚体原有状态的。这个公理常被用来简化某一已知力系。依据这一公理，可以得出一个重要推论。

力的可传性原理——作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任一点，而不改变原力对刚体的作用效应。例如，图3-4中，在车后A点加一水平力推车，与在车前B点加一水平力拉车，其效果是一样的。

这个原理可以利用上述公理推证如下。

① 设F作用于A点，如图3-5（a）所示。

② 在力的作用线上任取一点B，并在B点加一平衡力系（F1，F2），使F1=−F2=−F，如图3-5（b）所示。由加减平衡力系公理知，这并不影响原力F对刚体的作用效应。

③ 再从该力系中去掉平衡力系（F，F1），则剩下的F2与原力F等效，如图3-51（c）所示。这样就把原来作用在A点的力F沿其作用线移到了B点。

根据力的可传性原理，力在刚体上的作用点可以被它的作用线所代替，所以作用于刚体上的力的三要素又可以说是：力的大小、方向和作用线。这样的力矢量称为滑移矢量。

应当指出，力的可传性原理只适用于刚体，对变形体不适用。

公理三 力的平行四边形法则

作用于物体同一点的两个力可以合成为一个合力，合力也作用于该点，其大小和方向由以这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线所确定，即合力矢等于这两个分力矢的矢量和，如图3-6所示。其矢量表达式为

从图3-7可以看出，在求合力时，实际上只须作出力的平行四边形的一半，即一个三角形即可。为了使图形清晰起见，通常把这个三角形画在力所作用的物体之外。如图3-7所示，其方法是自任意点O先画出一力矢F1，然后再由F1的终点画一力矢F2，最后由O点至力矢F2的终点作一矢量FR，它就代表F1、F2的合力。合力的作用点仍为汇交点A。这种作图方法称为力的三角形法则。在作力三角形时，必须遵循这样一个原则，即分力力矢首尾相接，但次序可变，合力力矢与最后分力箭头相接。此外还应注意，力三角形只表示力的大小和方向，而不表示力的作用点或作用线。

力的平行四边形法则总结了最简单的力系简化规律，它是较复杂力系合成的主要依据。

力的分解是力的合成的逆运算，因此也是按平行四边形法则来进行的，但为不定解。在工程实际中，通常是分解为方向互相垂直的两个分力。例如，在进行直齿圆柱齿轮的受力分析时，常将齿面的法向正压力Fn分解为推动齿轮旋转的即沿齿轮分度圆圆周切线方向的分力——圆周力Ft和指向轴心的压力——径向力Fr，如图3-8所示。若已知Fn与分度圆圆周切向所夹的压力角为α，则有

运用公理二、公理三可以得到下面的推论。

物体受三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。此推论称为三力平衡汇交定理。读者可自行证明。

公理四 作用与反作用定律

两个物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反、作用线相同，并分别作用于这两个物体。

这个公理概括了自然界物体相互作用的关系，表明了作用力和反作用力总是成对出现的。

必须强调指出，作用力和反作用力是分别作用于两个不同的物体上的，因此，决不能认为这两个力相互平衡，作用力和反作用力与两力平衡公理中的两个力有着本质上的区别。

工程中的机械都是由若干个物体通过一定形式的约束组合在一起的，称为物体系统，简称物系。物系外的物体与物系之间的作用力称为外力，而物系内部物体间的相互作用力称为内力。

3.1.2 约束与约束反力

机器或者结构总是由许多零部件组成的。这些零部件按照一定的形式相互连接。因此，它们的运动必然互相牵连和限制。如果从中取出一个物体作为研究对象，则它的运动当然也会受到与它连接或接触的周围其他物体的限制。也就是说，它是一个运动受到限制或约束的物体，称为被约束体。

那些限制物体某些运动的条件，称为约束。这些限制条件总是由被约束体周围的其他物体构成的。为了方便起见，构成约束的物体常称为约束。约束限制了物体本来可能产生的某种运动，故约束有力作用于被约束体，这种力称为约束反力。

约束反力总是作用在被约束体与约束体的接触处（这里不考虑电磁力问题），其方向也总是与该约束所能限制的运动或运动趋势的方向相反。据此，即可确定约束反力的位置及方向。

以下列举一些常见的约束类型及约束反力的性质。

1. 柔索约束

由绳索、胶带、链条等形成的约束称为柔索约束。这类约束只能限制物体沿柔索伸长方向的运动，因此它对物体只有沿柔索方向的拉力，如图3-9和图3-10所示，常用符号为FT。当柔索绕过轮子时，常假想在柔索的直线部分处截开柔索，将与轮接触的柔索和轮子一起作为考察对象。这样处理，就可不考虑柔索与轮子间的内力，这时作用于轮子的柔索拉力即沿轮缘的切线方向，如图3-10（b）所示。

2. 光滑面约束

当两物体直接接触，并可忽略接触处的摩擦时，约束只能限制物体在接触点沿接触面的公法线方向的运动，不能限制物体沿接触面切线方向的运动，故约束反力必过接触点沿接触面法向并指向被约束体，简称法向压力，通常用FN表示。图3-11（a）和图3-11（b）所示分别为光滑曲面对刚体球的约束和齿轮传动机构中齿轮轮齿的约束。

图3-12所示为直杆与方槽在A、B、C三点接触，三处的约束反力沿二者接触点的公法线方向作用。

3. 铰链

铰链是工程上常见的一种约束。它是在两个钻有圆孔的构件之间采用圆柱定位销所形成的连接，如图3-13所示。门所用的合页、铡刀与刀架、起重机的动臂与机座的连接等，都是常见的铰链连接。

一般认为销钉与构件光滑接触，所以这也是一种光滑表面约束，约束反力应通过接触点K沿公法线方向（通过销钉中心）指向构件，如图3-14（a）所示。但实际上很难确定K的位置，因此反力FN的方向无法确定。所以，这种约束反力通常是用两个通过铰链中心的大小和方向未知的正交分力Fx、Fy来表示，两分力的指向可以任意设定，如图3-14（b）所示。

这种约束在工程上应用广泛，可分为以下三种类型。

（1）固定铰支座

这种约束常用于将构件和基础连接，如桥梁的一端与桥墩连接时，如图3-15（a）所示。图3-15（b）是这种约束的简图。

（2）中间铰链

中间铰链用来连接两个可以相对转动但不能移动的构件，如曲柄连杆机构中曲柄与连杆、连杆与滑块的连接，如图3-16所示。通常在两个构件连接处用一个小圆圈表示铰链，如图3-16（c）所示。

（3）滚动铰支座

在桥梁、屋架等结构中，除了使用固定铰支座外，还常使用一种放在几个圆柱形滚子上的铰链支座，这种支座称为滚动铰支座，也称为辊轴支座，它的构造如图3-17所示。由于辊轴的作用，被支撑构件可沿支撑面的切线方向移动，故其约束反力的方向只能在滚子与地面接触面的公法线方向。

4. 轴承约束

轴承约束是工程中常见的支撑形式，它的约束反力的分析方法与铰链约束相同。

① 支撑传动轴的向心轴承。这种约束也是一种固定铰支座约束，其力学符号如图3-18所示。

② 推力轴承约束。推力轴承约束除了与向心轴承一样具有作用线不定的径向约束力外，如

图3-19（a）所示，由于限制了轴的轴向运动，因而还有沿轴线方向的约束反力，如图3-19（b）所示。其力学符号如图3-19（c）所示。

3.1.3 受力分析与受力图

所谓受力分析，是指分析所要研究的物体（称为研究对象）上受力多少、各力作用点和方向的过程。

工程中物体的受力可分为两类：一类称为主动力，如工作载荷、构件自重、风力等，这类力一般是已知的或可以测量的；另一类就是约束反力。在进行受力分析时，研究对象可以用简单线条组成的简图来表示。在简图上除去约束，使对象成为自由体，添上代表约束作用的约束反力，称为解除约束。解除约束后的自由物体称为分离体，在分离体上画上它所受的全部主动力和约束反力，就称为该物体的受力图。

画受力图是解决力学问题的第一步骤，正确地画出受力图是分析、解决力学问题的前提。如果没有特别说明，则物体的重力一般不计，并认为接触面都是光滑的。

下面举例说明受力图的作法及注意事项。