2.1 多项式方程的求解

多项式方程是实际应用中经常遇到的方程，本节先介绍多项式方程的数学形式，再介绍多项式方程的求解方法。

定义2-1 多项式方程的一般形式为

多项式方程根与系数的关系满足如下的Viète定理，又称Viète公式，该定理是以法国数学家François Viète（1540−1603）命名的。

定理2-1 （Viète定理）假设多项式方程的根为x1，x2，…，xn，则有

本节侧重介绍低阶多项式方程的求根公式及其MATLAB实现，并给出高阶多项式方程的Abel–Ruffini定理。

2.1.1 一次方程与二次方程

一次与二次方程都有很简单的求解公式，这里将通过例子演示一元方程与二元方程的直接求解方法。

例2-1 一次多项式方程x+c=0的解是什么？

解 显然，一次多项式方程的解是x=−c，不论c是何值。

例2-2 公元四至五世纪的中国古代著名的数学著作《孙子算经》曾给出了鸡兔同笼问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

解 古典数学著作中有各种各样的方法求解鸡兔同笼问题。若引入代数方程的思维，则假设鸡的个数为x1，兔的个数为x2，这样容易地列出下面的二元一次方程组：

由第一个方程，令x1=35−x2，将其带入第二个方程，有

2(35−x2)+4x2=70−2x2+4x2=70+2x2=94

立即得出x2=12，代入则可以得出x1=35−x2=23。将根代入原始方程，则可以看出误差都为零，说明得出的根是正确的。当然，求解这类方程有许多种方法，这里暂时不去探讨了。

例2-3 一元二次方程ax2+bx+c=0的求解。

解 古巴比伦人早在公元前1800年就开始研究这类问题，后来诸多数学家也在研究二次方程的求解方法，直到1615年出版的法国数学家François Viète的著作中，给出了一般多项式方程根与系数之间的关系，即前面给出的Viète定理。

提取方程两端的系数a，则可以得出a(x2+bx/a+c/a)=0，如果a不等于零，则探讨方程x2+bx/a+c/a=0的根就可以了。如果采用配方法，可以从底层推导一元二次方程的求解公式。

由最后一个方程显然可以得出

两端开方，求代数平方根，再经过简单处理，则可以得出原方程的两个根：

2.1.2 三次方程的解析解

三次或三次以上代数方程的求解就没有这么简单了。古巴比伦人研究过三次多项式方程。中国三国时期著名数学家刘徽在265年出版了《九章算术注》，其中描述了三次方程（cubic equations）问题。中国唐代数学家王孝通在其著作《辑古算经》中建立并求解了25个特殊三次方程。

定义2-2 三次方程的一般形式为x3+c2x2+c3x+c4=0。

为简单起见，该方程进行了首一化处理。令x=t−c2/3，则可以将三次方程变换成t3+pt+q=0的形式，其中

例2-4 试利用MATLAB证实式（2-1-3）的叙述。

解 利用MATLAB进行变量替换，则可以给出下面的语句：

则可以立即得出结果如下，由此可以证实式（2-1-3）中的结果。

这样，变量t三个根的闭式求解公式为

其中，ξ=(−1+)/2，且

不过在MATLAB实际计算中，由上式独立计算u和v的值有时会出现错误，因为开方运算解是不唯一的。为准确计算u和v值，可以考虑先计算u，再用Viète定理计算v的值，v=−p/(3u)。

当然，有一种特殊情况必须考虑，就是当u=0时，v=0，这时方程的三重根为x=−c2/3。

将得出的t代入x=t−c2/3，可以得出方程的三个根。这个闭式解公式是意大利数学家Gerolamo Cardano在1545年提出的。

2.1.3 四次方程的解析解

一般四次方程（quartic equation）可以先经过特殊的变量替换转换成特殊形式的四次方程，最后给出闭式求解公式。

定义2-3 四次方程的一般形式为x4+c2x3+c3x2+c4x+c5=0。

例2-5 对一般四次方程，若令x=y−c2/4，则原方程会变换成什么形式？

解 利用下面的语句可以进行方程的变换。

可以将方程变换成y4+py2+qy+s=0的特殊四次方程形式，其中，

由给出的特殊形式，可以将y的方程变换成下面的形式。

其中，m为三次方程8m3+8pm2+(2p2−8s)m−q2=0的根。这个算法是意大利数学家Lodovico de Ferrari提出的。当然，这样做的前提是m̸=0。如果m=0，则意味着q=0，这样y的方程可以写成y4+py2+s=0，易于求解y2，再求出y。有了y，则可以由变换表达式求出相应的x。

MATLAB提供的roots()函数是基于矩阵特征值计算的多项式方程求解函数，具体的调用格式为r=roots(p)，其中，p为降幂排列的多项式系数向量，r为方程的数值解，为列向量。

该函数在求解有重根方程时经常被诟病，因为得出的根误差比较大。综合考虑上面给出的低次方程求解算法，可以编写出roots()函数的替代函数，该函数有望得出精确的低次方程的数值解，而方程阶次高于4时自动嵌入MATLAB的原始roots()函数，得出方程根的数值解。

例2-6 试求解方程(s−5)4=0。

解 当然，如果以这种形式给出方程，则可以立即得出方程的四个重根，都是5。在实际应用时经常已知方程的展开形式，不知道分解的形式，如何求解呢？可以尝试MATLAB提供的roots()函数，也可以尝试新编写的roots1()函数。

可以看出，roots1()函数得出所期望的四重根s=5，而roots()函数得出的结果为5.0010，5±0.001j，4.9990，可以看出，方程有重根时MATLAB函数数值求解有较大的误差，在双精度数据结构下，用其他数值算法也有同样的问题，在实际应用中可能引起麻烦。代入原方程后，e1=2.1690×10−12，e2=0。通过上面演示还可以看出，利用符号运算总能得出正确的结果。

例2-7 试在双精度框架下求解复系数多项式方程并评价精度。

f(s)=s4+(5+3j)s3+(6+12j)s2−(2−14j)s−(4−4j)=0

解 到现在为止介绍了两个多项式方程的数值求解函数roots()和roots1()，其实，构造原方程时，是假设方程的三重根为−1+1j，还有一个实数根−2。现在可以由下面的语句直接求解，得出结果后与已知根的解析解相比，可见，roots()函数得出的根的误差范数为3.5296×10−5，而roots1()函数的误差范数为0，说明这里给出的方程的解是精确的，roots1()函数同样适合求解复系数多项式方程。

2.1.4 高次代数方程与Abel-Ruffini定理

定义2-4 方程的代数解法是利用有限次加减乘除、整数次乘方、开方运算可以构造出来的闭式求解公式。

定理2-2（Abel–Ruffini定理） 任意系数的五次或五次以上的多项式方程是没有代数解法的。该定理又称Abel不可能性定理。

意大利数学家Paolo Ruffini（1765−1822）在1799年给出了该定理的不完全证明，挪威数学家Niels Henrik Abel在1824年给出了定理的证明。所以对一般高次多项式方程而言，只能采用数值解方法。