3.3.2　外力-电阻计算模型

目前，不少学者对导电橡胶的外力-电阻特性进行了实验性研究，通过大量的实验结果来分析电阻随外力变化的规律，但是对于外力-电阻数学模型的研究却比较少见。本节介绍炭黑填充型导电橡胶的两类外力-电阻模型：基于有效介质理论的压阻模型和基于量子隧道效应理论的压（拉）力-电阻模型。

（1）基于通用有效介质理论的压阻计算模型

清华大学的王鹏等人^［4］在通用有效介质理论的基础上，提出了炭黑填充型导电橡胶的压阻计算模型，给出了炭黑颗粒的基本特征参数、体积分数以及基体材料的弹性模量等对导电橡胶压阻特性的影响。关于有效介质模型的基本理论在3.2.2中给出了详细介绍，得出了复合材料的电阻率，如式（3-2）。在压力作用下导电橡胶材料发生弹性变形，炭黑颗粒间的距离减小，形成导电通路，橡胶的电阻值随压力的增大而减小，表现出明显的压阻效应。该过程可以用图3-7近似地说明。

对于长度为L，横截面积为S，电阻率为ρ_m的炭黑填充型导电橡胶复合材料，其电阻R=ρ_mK，电阻几何系数K=L/S。当受到压力P作用时，橡胶的电阻率和电阻几何系数均会发生变化，电阻R也随之改变。实验研究表明，对于炭黑填充型导电橡胶材料，在0～3.5MPa的压力范围内，其泊松比ν和弹性模量E的变化很小，可认为其是理想的弹性体，则

　　（3-6）

对上式积分得

　　（3-7）

式中，K₀为零载荷下橡胶材料的电阻几何系数。

定义炭黑填料的体积分数为

φ=V₁/V_m　　（3-8）

式中，V₁是炭黑的体积；V_m是导电橡胶的总体积。式（3-8）左右两端对压力P微分，同时由于炭黑填料是刚体，可假设其体积变化近似为零，即，从而有

　　（3-9）

假设导电橡胶材料为理想弹性体，则有：，代入式（3-9）得

　　（3-10）

对式（3-10）两端积分得

　　（3-11）

式中，φ₀为零载荷下炭黑填料的体积分数。

压力P作用下炭黑填料的电阻变化可忽略，即∂ρ_h/∂P≈0。将式（3-11）代入式（3-2）可得

　　（3-12）

将式（3-7）和式（3-12）代入电阻计算公式，得出电阻值随压力变化的关系为

　　（3-13）

式中，R₀=ρ_h（1-φ_c）^t（φ₀-φ_c）^-tK₀，为零载荷下导电橡胶材料的电阻值。式（3-13）中幂函数项描述了电阻率跟随压力的变化，指数项描述了电阻几何系数跟随压力的变化。

文献［4］中，作者分别对填充了三种不同型号炭黑颗粒的导电橡胶进行实验测定，炭黑颗粒径尺寸依次为SL-10、SL-20、SL-36。在零载荷下，对三种型号炭黑在硅橡胶基体中的体积分数与导电橡胶电阻率之间的关系进行实验，实验结果如图3-8所示。以SL-10、SL-20、SL-36为填充材料，分别按炭黑体积分数为32%、26%和21%制备导电橡胶样品。对三种实验样品施加静态压力，每次加载保持3min稳定时间，将各参数分别代入计算模型得到相应的计算压阻曲线，计算曲线与实验结果如图3-9所示。

从图3-9中可以看出，对于SL-10和SL-20两种炭黑填充型导电橡胶材料，其计算曲线与实验结果吻合较好，而填充了SL-36型炭黑的导电橡胶计算曲线与实验结果之间出现较大的偏差。这是因为若炭黑粒径过小，易相互团聚形成大块聚集体，很难在基体硅橡胶中分散均匀，无法构成完整规则的导电网络，从而导致在压力作用下电阻变化规律与计算结果不一致。因此，选择合适大小的炭黑是制备炭黑填充型压敏导电橡胶材料的一个重要因素。

（2）基于隧道效应理论的压（拉）力-电阻计算模型

通过3.2.2中的介绍可知，基于Sheng.P等人的量子隧道效应导电理论，假设橡胶导电粒子间隙的统计平均值为ω，表现出的宏观电流密度J（ε）和ω的关系为

　　（3-14）

若导电橡胶体初始长度为l₀，理想条件下橡胶满足胡克定律，k₁为弹性系数。当橡胶受外力F（F为压力或拉力）时的长度为l，在弹性形变范围内有

F=k₁（l-l₀）=k₁Δl　　（3-15）

其次，假设ω正比于l，比例系数为k₂，即

ω=k₂l　　（3-16）

间隙间场强ε在其他条件不变时与ω₀成反比：

ε/ε₀=ω/ω₀=l/l₀　　（3-17）

对于横截面积恒定的导电橡胶，其电阻R用式（3-18）描述：

R=ρl/S　　（3-18）

式中，l为橡胶的长度；S为横截面积；ρ为电阻率。

将式（3-14）～式（3-17）代入式（3-18）中，可得导电橡胶的R-F关系：

　　（3-19）

一般精确到二次项，因此有

R（F）=R₀+AF+BF²　　（3-20）

式中，，并且，当外力为压力时，F为负值，反之，F取正值时表示施加的外力为拉力。

考虑R-Δl的关系，将式（3-15）代入式（3-20）中，有

　　（3-21）

式中，C=Ak₁，。

目前，已有研究者对于式（3-20）所描述的橡胶力敏特性进行了实验验证。文献［5］用表3-1中三种不同配比的导电橡胶样品测试了导电橡胶的电阻值随压力的变化规律，结果见图3-10。大连理工大学的刘顺华等人对导电橡胶的电阻-拉力关系进行了实验测试，如图3-11，实验结果表明，橡胶的电阻值与其所受外力之间满足二次项关系。因此，在理想条件下，式（3-20）成立。